Geometryczny sens pewnej całki – powierzchnia zakrętach trapezu. Aby znaleźć powierzchnia figury ograniczonej liniami, stosuje się jedną z właściwości całki, która jest w аддитивности placów, całkowalna na jednym i tym samym odcinku funkcji.
Instrukcja
1
Z definicji całki, jest on równy powierzchni zakrzywionej trapezu, ograniczonej wykresem danej funkcji. Gdy chcesz znaleźć powierzchnia figury ograniczonej liniami, chodzi o krzywych podanych na wykresie dwie funkcje f1(x) i f2(x).
2
Niech na pewnym przedziale [a, b] są ustawione dwie funkcje, które są określone i ciągłe. Przy czym jedna z funkcji wykresie znajduje się wyżej od innych. W ten sposób powstaje wizualna postać, ograniczona liniami funkcji i prostymi x = a, x = b.
3
Wtedy powierzchnia kształty można wyrazić formułą, zintegrowanie różnica funkcji na przedziale [a, b]. Obliczenie całki odbywa się zgodnie z prawem Newtona-Leibniza, zgodnie z którym wynik jest równy różnicy całki funkcji od granicznych przedziału.
4
Пример1.
Znaleźć powierzchnia figury ograniczonej prostymi liniami y = -1/3·x – ?, x = 1, x = 4 i параболой y = -x? + 6·x – 5.
Znaleźć powierzchnia figury ograniczonej prostymi liniami y = -1/3·x – ?, x = 1, x = 4 i параболой y = -x? + 6·x – 5.
5
Rozwiązanie.
Tworzenie grafiki wszystkich linii. Można zobaczyć, że linia paraboli znajduje się powyżej linii prostej y = -1/3·x – ?. Dlatego pod znakiem całki w tym przypadku powinna stać różnica między równaniem paraboli i zadanej prostej. Przedział całkowania, odpowiednio, znajduje się między punktami x = 1 i x = 4:
S = ?(-x? + 6·x – 5 – (-1/3·x – 1/2))dx = (-x? +19/3·x – 9/2)dx na odcinku [1, 4].
Tworzenie grafiki wszystkich linii. Można zobaczyć, że linia paraboli znajduje się powyżej linii prostej y = -1/3·x – ?. Dlatego pod znakiem całki w tym przypadku powinna stać różnica między równaniem paraboli i zadanej prostej. Przedział całkowania, odpowiednio, znajduje się między punktami x = 1 i x = 4:
S = ?(-x? + 6·x – 5 – (-1/3·x – 1/2))dx = (-x? +19/3·x – 9/2)dx na odcinku [1, 4].
6
Znajdź całkę dla otrzymanego подынтегрального wyrażenia:
F(-x? + 19/3x – 9/2) = -1/3x? + 19/6x? – 9/2x.
F(-x? + 19/3x – 9/2) = -1/3x? + 19/6x? – 9/2x.
7
Podstawiając wartości końców odcinka:
S = (-1/3·4? + 19/6·4? – 9/2·4) – (-1/3·1? + 19/6·1? – 9/2·1) = 13.
S = (-1/3·4? + 19/6·4? – 9/2·4) – (-1/3·1? + 19/6·1? – 9/2·1) = 13.
8
Пример2.
Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami y = v(x + 2) y = x i prostej x = 7.
Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami y = v(x + 2) y = x i prostej x = 7.
9
Rozwiązanie.
To zadanie jest bardziej skomplikowane w porównaniu z poprzednim, ponieważ nie ma w niej drugiej prostej równoległej do osi x. To znaczy, że drugie ograniczenie wartości całki nieokreślony. Dlatego trzeba go znaleźć z grafika. Zbuduj określone linie.
To zadanie jest bardziej skomplikowane w porównaniu z poprzednim, ponieważ nie ma w niej drugiej prostej równoległej do osi x. To znaczy, że drugie ograniczenie wartości całki nieokreślony. Dlatego trzeba go znaleźć z grafika. Zbuduj określone linie.
10
Zobaczysz, to linia prosta y = x przechodzi ukośnie względem płaszczyzny współrzędnych. A wykres funkcji korzenia – to pozytywna połowa paraboli. Jest oczywiste, że linie na wykresie przecinają się, więc punkt przecięcia i będzie dolną granicą całkowania.
11
Znajdź punkt przecięcia, rozwiązując równanie:
x = v(x + 2) > x? = x + 2 [x ? -2] > x? – x – 2 = 0.
x = v(x + 2) > x? = x + 2 [x ? -2] > x? – x – 2 = 0.
12
Określ korzenie równania kwadratowego z pomocą дискриминанта:
D = 9 > x1 = 2; x2 = -1.
D = 9 > x1 = 2; x2 = -1.
13
Jest oczywiste, że wartość -1 nie nadaje się, ponieważ współrzędna x prądy przecięcia – pozytywna wartość. W konsekwencji, w drugiej granica całkowania x = 2. Funkcja y = x na wykresie powyżej funkcji y = v(x + 2), więc w интеграле to będzie pierwszy.
Проинтегрируйте powstałej wyrażenie na przedziale [2, 7] i znajdź powierzchnia figury:
S = ?(x – v(x + 2))dx = (x?/2 – 2/3·(x + 2)^(3/2)).
Проинтегрируйте powstałej wyrażenie na przedziale [2, 7] i znajdź powierzchnia figury:
S = ?(x – v(x + 2))dx = (x?/2 – 2/3·(x + 2)^(3/2)).
14
Ustawić interwał wartości:
S = (7?/2 – 2/3·9^(3/2)) – (2?/2 – 2/3·4^(3/2)) = 59/6.
S = (7?/2 – 2/3·9^(3/2)) – (2?/2 – 2/3·4^(3/2)) = 59/6.
Kategoria:
Matematyka
