Przed rozpatrzeniem tej kwestii warto przypomnieć, że każda dobrze zorganizowany układ n liniowo niezależnych wektorów w przestrzeni R^n nazywa się bazą tej przestrzeni. Przy tym tworzące system wektory będą liczyć się liniowo niezależne, jeśli każdy ich zerowa liniowa kombinacja jest możliwa tylko poprzez równości zero wszystkie współczynniki tej kombinacji.
Trzeba
- – papier;
- – uchwyt.
Instrukcja
1
Posługując się jedynie podstawowymi definicjami sprawdzić liniową niezależność układu wektor kolumn, a zatem i opinię o obecności linii końcowej, jest bardzo trudne. Dlatego w tym przypadku może pomóc korzystanie z niektórych specjalnych oznak.
2
Wiadomo, że wektory są liniowo niezależne, jeśli złożony z nich wyznacznik nie jest równy zero.Na tej podstawie można wystarczająco wyjaśnić fakt, że układ wektorów tworzy linię końcową. Tak więc, aby uzasadnić, że wektory tworzą linię końcową, należy sporządzić z ich współrzędnych determinant i upewnić się, że nie jest równy zero.W przyszłości, w celu skrócenia i uproszczenia zapisów, widok wektor-kolumny macierzy-kolumną będziemy wymieniać transpozycja macierzy-wierszem.
3
Przykład 1. Tworzą czy podstawa w R^3 wektor-kolumny (1, 3, 5)^T, (2, 6, 4)^T, (3, 9, 0)^T. Rozwiązanie. Sporządź wyznacznik |A|, wierszami, które są elementy wybranych kolumn (patrz rys. 1).Odkrywając ten wyznacznik zgodnie z zasadą trójkątów, uda: |A| = 0+90+36-90-36-0=0. Stąd te wektory nie mogą tworzyć linię końcową.
4
Przykład. 2. System składa się z wektorów (10, 3, 6)^T, (1, 3, 4)^T, (3, 9, 2)^T. czy Mogą one tworzyć podstawa?Rozwiązanie. Przez analogię z pierwszym przykładem zrób determinant (patrz rys. 2): |A| =60+54+36-54-360-6=270, czyli nie jest równa zero. Dlatego system ten wektor kolumn nadaje się do wykorzystania jako linii końcowej w R^3.
5
Teraz z całą oczywistością staje się jasne, że w celu znalezienia linii końcowej systemu wektor kolumn w zupełności wystarczy wziąć dowolny wyznacznikiem odpowiedniego wymiaru różny od zera. Elementy jego kolumn tworzą wchodzących w skład podstawowego systemu. Mało tego, zawsze jest wskazane, aby mieć prostą linię końcową. Ponieważ wyznacznik macierzy jednostkowej zawsze różni się od zera (w każdym wymiarze), to jako linii końcowej zawsze można wybrać system (1, 0, 0,…,0)^T, (0, 1, 0,…,0)^T, (0, 0, 1,…,0)^T,…, (0, 0, 0,…,1)^T.
Kategoria:
Matematyka
