Nauka metodologii obliczania granic rozpoczyna się właśnie z obliczania granic sekwencji, gdzie nie ma dużej różnorodności. Powód – argument zawsze dodatnią n, dążenie do pozytywnej nieskończoności. Dlatego coraz bardziej skomplikowane przypadki (w procesie ewolucji procesu uczenia się) spotkały funkcji.
Instrukcja
Numeryczny ciąg można rozumieć jako funkcję xn=f(n), gdzie n – liczba naturalna (oznaczoną {xn}). Same liczby xn nazywane są elementami lub członkami sekwencji, n – numer członka kolejności. Jeśli funkcja f(n) jest ustawiona analytical, to jest formułą, to xn=f(n) nazywa się formułą wspólnego członka sekwencji.
Liczba a nazywa się granicą sekwencji {xn}, jeśli dla każdego ?>0 istnieje liczba n=n(?), od którego wykonywana jest nierówność |xn-a |
Pierwszy sposób obliczania limitu kolejności opiera się na jej definicji. Co prawda należy pamiętać, że oddechowych bezpośredniego wyszukiwania limit nie pozwala, a pozwala tylko udowodnić, że jakakolwiek liczba a jest (lub nie jest) limit.Przykład 1. Udowodnić, że ciąg {xn}={(3n^2-2n-1)/(n^2-n-2)} ma limit a=3.Rozwiązanie. Spędzasz dowód przez zastosowanie określenia w odwrotnej kolejności. Czyli od prawej do lewej. Wcześniej sprawdź czy nie ma możliwości uprościć formułę xn.xn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/((n+2)(n+1))= )=(3n+1)/(n+2).Rozważ nierówność |(3n+1)/(n+2)-3|0 można znaleźć dowolną dodatnią n?, więcej -2+5/?.
Przykład 2. Udowodnić, że w warunkach przykład 1 liczba a=1 nie jest ograniczeniem sekwencji poprzedniego przykładu. Rozwiązanie. Znowu uproszczenie ogólny członek kolejności. Weź ?=1 (to dowolna liczba >0).Zapisz zawierającej nierówność wspólnej definicji |(3n+1)/(n+2)-1|
Zadania bezpośredniego obliczenia limitu sekwencji dość monotonne. Wszystkie one zawierają związek wielomianów względem n lub irracjonalnych wyrażeń dotyczących tych wielomianów. Przystępując do rozwiązania, wynieście nawiasach (znak grupy funkcyjnej) składnik, znajdujący się w najwyższej mierze. Niech dla licznika oryginalnego wyrażenia spowoduje to, mnożenia a^p, a do mianownika b^q. Jest oczywiste, że wszystkie pozostałe suma mają widok Z/(n-k) i dążą do zera, gdy n>k (n dąży do nieskończoności). Po tym zapisz odpowiedź: 0, jeśli pq.
Wskażemy nie tradycyjny sposób na znalezienie granicy sekwencji i nieskończonych sum. Będziemy korzystać z funkcji sekwencji (ich członkowie funkcji określonych na pewnym przedziale (a,b)).Przykład 3. Znaleźć sumę rodzaju 1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=s .Rozwiązanie. Dowolną liczbę a^0=1. Umieścić 1=exp(0) i rozważmy ciąg funkcyjny {1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n!}, n=0,1,2,..,n… . Łatwo zauważyć, że nagrany wielomian pokrywa się z многочленом Taylora w stopniach x, który w tym przypadku pokrywa się z exp(x). Weź x=1. Тогдаехр(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Odpowiedź s=e-1.
Pierwszy sposób obliczania limitu kolejności opiera się na jej definicji. Co prawda należy pamiętać, że oddechowych bezpośredniego wyszukiwania limit nie pozwala, a pozwala tylko udowodnić, że jakakolwiek liczba a jest (lub nie jest) limit.Przykład 1. Udowodnić, że ciąg {xn}={(3n^2-2n-1)/(n^2-n-2)} ma limit a=3.Rozwiązanie. Spędzasz dowód przez zastosowanie określenia w odwrotnej kolejności. Czyli od prawej do lewej. Wcześniej sprawdź czy nie ma możliwości uprościć formułę xn.xn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/((n+2)(n+1))= )=(3n+1)/(n+2).Rozważ nierówność |(3n+1)/(n+2)-3|0 można znaleźć dowolną dodatnią n?, więcej -2+5/?.
Przykład 2. Udowodnić, że w warunkach przykład 1 liczba a=1 nie jest ograniczeniem sekwencji poprzedniego przykładu. Rozwiązanie. Znowu uproszczenie ogólny członek kolejności. Weź ?=1 (to dowolna liczba >0).Zapisz zawierającej nierówność wspólnej definicji |(3n+1)/(n+2)-1|
Zadania bezpośredniego obliczenia limitu sekwencji dość monotonne. Wszystkie one zawierają związek wielomianów względem n lub irracjonalnych wyrażeń dotyczących tych wielomianów. Przystępując do rozwiązania, wynieście nawiasach (znak grupy funkcyjnej) składnik, znajdujący się w najwyższej mierze. Niech dla licznika oryginalnego wyrażenia spowoduje to, mnożenia a^p, a do mianownika b^q. Jest oczywiste, że wszystkie pozostałe suma mają widok Z/(n-k) i dążą do zera, gdy n>k (n dąży do nieskończoności). Po tym zapisz odpowiedź: 0, jeśli pq.
Wskażemy nie tradycyjny sposób na znalezienie granicy sekwencji i nieskończonych sum. Będziemy korzystać z funkcji sekwencji (ich członkowie funkcji określonych na pewnym przedziale (a,b)).Przykład 3. Znaleźć sumę rodzaju 1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=s .Rozwiązanie. Dowolną liczbę a^0=1. Umieścić 1=exp(0) i rozważmy ciąg funkcyjny {1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n!}, n=0,1,2,..,n… . Łatwo zauważyć, że nagrany wielomian pokrywa się z многочленом Taylora w stopniach x, który w tym przypadku pokrywa się z exp(x). Weź x=1. Тогдаехр(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Odpowiedź s=e-1.
Powiązane artykuły
