Z definicji, punkt M0(x0, y0) nazywany jest punktem lokalnego maksimum (minimum) funkcji dwóch zmiennych z=f(x,y), jeśli w pewnej okolicy punktu U(x0, y0), dla dowolnego punktu M(x, y) jest f(x,y)f(x0, y0)). Punkty te nazywane są экстремумами funkcji. W tekście prywatne pochodne są oznaczone zgodnie z rys. 1.
Instrukcja
1
Warunkiem koniecznym ekstremum jest równe zeru prywatnych pochodnych funkcji x i y. Punkt M0(x0, y0), w której w zero zwracają się oba prywatne pochodne, nazywa stacjonarnej punktem funkcji z=f(x, y).
2
Uwaga. Prywatne pochodne funkcji z=f(x, y) mogą nie istnieć w punkcie ekstremum, więc punktami ewentualnego ekstremum są nie tylko punkty stacjonarne, ale i miejsca, w których prywatne pochodne nie istnieją (im odpowiadają ostrza powierzchni wykresu funkcji).
3
Teraz można przejść do wystarczające warunki istnienia ekstremum. Jeśli дифференцируемая funkcja ma maksimum, to może być tylko w stacjonarnym punkcie. Wystarczające warunki ekstremum formułowane w następujący sposób: niech w pewnej okolicy stacjonarnego punktu (x0, y0) funkcja f(x, y) ma ciągłe prywatne pochodne drugiego rzędu. Na przykład: (cm. ryż.2)
4
Wówczas: a) jeżeli Q>0, to w punkcie (x0, y0) funkcja ma maksimum, przy czym, gdy f”(x0, y0)0) – lokalne minimum; b) jeśli Q
5
W celu znalezienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych, można zaproponować następujący schemat: najpierw są punkty stacjonarne funkcji. Następnie w tych punktach są sprawdzane wystarczające warunki ekstremum. Jeśli funkcja w niektórych punktach nie ma różniczkowych, to w tych miejscach też może być ekstremum, ale wystarczające warunki już nie będą dostępne.
6
Przykład. Znaleźć minimum funkcji z=x^3+y^3-xy.Rozwiązanie. Znajdziemy punkty stacjonarne funkcji (patrz rys. 3):
7
Rozwiązanie ostatniej systemu daje stacjonarne punkty (0, 0) i (1/3, 1/3). Teraz należy sprawdzić spełnienie odpowiedniego warunku ekstremum. Znajdź drugie pochodne, a także punkty stacjonarne Q(0,0 ) i Q(1/3, 1/3) (patrz rysunek 4):
8
Ponieważ Q(0, 0)0, zatem w punkcie (1/3, 1/3) ekstremum istnieje. Biorąc pod uwagę fakt, że druga pochodna (na xx) w (1/3, 1/3) jest większa od zera, należy podjąć decyzję, że ten punkt jest minimum.
Kategoria:
Matematyka
