Jak rozwiązywać równania wyższych stopni

Najczęściej stosowaną metodą rozwiązywania równań wyższych stopni jest faktoryzacja. To podejście jest kombinacją doboru liczb całkowitych korzeni, przegrody wolnego członka, a następnie dzielenie wspólnego wielomian na dwumian rodzaju (x – x0).

Na przykład rozwiąż równanie x^4 + x? + 2·x? – x – 3 = 0.Rozwiązanie.Wolne członkiem tego wielomianu jest -3, zatem jego integralną podziałami mogą być liczby ±1 ±3. Ustawić je w kolejce do równania i sprawdź, czy uda tożsamość:1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

Tak więc, pierwszy przewidywany korzeń dał prawidłowy wynik. Podziel wielomian równania w (x – 1). Dzielenie wielomianów odbywa się kolumna i różni się od zwykłego dzielenia liczb tylko w obecności zmiennej.

Zapisz równanie w nowej postaci (x – 1)·(x? +2·x? + 4·x + 3) = 0. Największy stopień wielomianu spadła do trzeciej. Kontynuuj dobór korzeni już dla sześciennych wielomianu:1: 1 + 2 + 4 + 3 ? 0;-1: -1 + 2 – 4 + 3 = 0.

Drugi pierwiastek x = -1. Podziel sześcienny wielomian na wyrażenie (x + 1). Zapisz powstałe równanie (x – 1)·(x + 1)·(x? + x + 3) = 0. Stopień spadły do drugiej, zatem równanie może mieć jeszcze dwa korzenia. Aby je znaleźć, rozwiąż równanie:x? + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Wyróżnik – wartość ujemna, oznacza to, rzeczywistych korzeni równania więcej nie ma. Znajdź kompleksowe korzenie równania:x = (-2 + i·v11)/2 i x = (-2 – i·v11)/2.

Zapisz odpowiedź:x1,2 = ±1; x3,4 = -1/2 ± i·v11/2.

Inna metoda rozwiązania równania wyższego stopnia – wymiana zmiennych w celu dostosowania go do kwadratowego. Takie podejście jest używany, gdy wszystkie stopniu równania parzyste, na przykład:x^4 – 13·x? + 36 = 0

To równanie nazywa биквадратным. Aby doprowadzić go do kwadratowego, zrób wymianę y = x?. Wtedy:y? – 13·y + 36 = 0D = 169 – 4·36 = 25y1 = (13 + 5)/2 = 9; y2 = (13 – 5)/2 = 4.

Teraz znajdź korzenie oryginalnego równania:x1 = v9 = ±3; x2 = v4 = ±2.