Operacja różnicowanie funkcji studiuje w matematyce, będąc jednym z podstawowych jej pojęć. Jednak jest on również stosowany w naukach przyrodniczych, np. w fizyce.
Instrukcja
1
Metoda różnicowania stosuje się do znalezienia funkcji, pochodnej od oryginalnej. Pochodna funkcji — jest to stosunek limitu przyrostu funkcji do приращению argument. Jest to najbardziej powszechna pojęcie pochodnej, który przyjęto oznaczać znakiem apostrofu „'”. Być może powtarzające się różnicowanie funkcji, a przy tym tworzą się pierwsza pochodna f'(x), druga f”(x) itp. Pochodne wyższych rzędów wielkości oznaczają f^(n)(x).
2
Aby odróżniać funkcję, można skorzystać z wzoru Leibniza:(f*g)^(n) = ? C(n)^k*f^(n-k)*g^k, gdzie C(n)^k– odebrane биномиальные współczynniki. Najprostszy przypadek pierwszej pochodnej łatwiej wziąć pod uwagę na konkretnym przykładzie: f(x) = x^3.
3
Tak więc, z definicji:f'(x) = lim ((f(x) – f(x_0))/(x – x_0)) = lim ((x^3 – x_0^3)/(x – x_0)) = lim ((x – x_0)*(x^2 +x* x_0 + x_0^2)/(x – x_0)) = lim (x^2 + x*x_0 + x_0^2) przy x, стремящемся do wartości x_0.
4
Pozbyć się znaku limitu, zastępując w otrzymane wyrażenie na wartość x wynosi x_0. Otrzymujemy:f'(x) = x_0^2 + x_0*x_0 + x_0^2 = 3*x_0^2.
5
Rozważmy różnicowanie skomplikowanych funkcji. Takimi funkcjami są utworami lub суперпозициями funkcji, tj. wynik jednej funkcji jest argumentem dla innych:f = f(g(x)).
6
Pochodna takiej funkcji ma postać:f'(g(x)) = f'(g(x))*g'(x), tzn. jest równa iloczynowi starszej funkcji dla argumentu młodszej na pochodną młodszej funkcji.
7
Aby odróżniać utwór z trzech i więcej funkcji, stosuje się to zwykle w następujący sposób:f'(g(h(x))) = f'(g(h(x)))*(g(h(x)))’ = f'(g(h(x)))*g'(h(x))*h'(x).
8
Znajomość pochodnych niektórych najprostszych funkcji jest bardzo pomocny w rozwiązywaniu zadań na rachunku różniczkowego:- pochodna stałej jest równa 0;- pochodna najprostszej funkcji argumentu pierwszego stopnia x’ = 1;- pochodna sumy funkcji jest równa sumie ich pochodnych: (f(x) + g(x))’ = f'(x) + g'(x);- podobnie jak pochodna iloczynu jest równa iloczynowi pochodnych;- pochodna prywatnego dwóch funkcji: (f(x)/g(x))’= (f'(x)*g(x) – f(x)*g'(x))/g^2(x);- (C*f(x))’ = C*f'(x), gdzie C – stała;- przy różnicowaniu stopnia одночлена jest wydawana w postaci mnożnika, a sama stopień spada na 1: (x^a)’ = a*x^(a-1);- funkcje trygonometryczne sinx i cosx w rachunku różnicowym podwójnym noszą odpowiednio nieparzysty i parzysty charakter – (sinx)’ = cosx i (cosx)’ = – sinx;- (tg x)’ = 1/cos^2 x;- (ctg x)’ = – 1/sin^2 x.
Kategoria:
Matematyka
