Jak obliczyć całki funkcji

Zazwyczaj obliczenie całki sprowadza się do tego, aby prowadzić подынтегральное wyrażenie na stole myśli. Istnieje wiele tabelarycznych całki, która ułatwia rozwiązanie tych zadań.

Istnieje kilka sposobów, aby to całka dogodnej rodzaju: bezpośrednie całkowania, całkowanie przez części, metoda podstawiania, wprowadzenie pod znak mechanizmu różnicowego, rozwijanie Вейерштрасса itp.

Metoda bezpośredniego całkowania to konsekwentne doprowadzenie całki na stole myśli za pomocą elementarnych przekształceń:?соѕ? (x/2)dх = 1/2•?(1 + соѕ x)dх = 1/2•?dх + 1/2•?соѕ xdх = 1/2•(x + sin x) + C, gdzie C – stała.

Całka ma wiele możliwych wartości na podstawie właściwości całki, a mianowicie obecności суммируемой stałe. W ten sposób, znajdująca się w przykładzie rozwiązanie jest powszechne. Prywatne rozwiązaniem całki nazywa całkowita przy pewnej wartości stałej, np. Z=0.

Całkowanie przez części stosuje się, gdy подынтегральное wyrażenie stanowi utwór algebraiczne i transcendentnego funkcji. Formuła metody:?udv = u•v ?vdu.

Ponieważ pozycje mnożników do dzieła nie ma znaczenia, jako funkcji u, lepiej wybrać tę część wypowiedzi, która po różnicowanie uproszczone. Przykład:?x·ln xdx = [u=ln x; v=x; dv=xdx] = x?/2·ln x – ?x?/2·dx/x = x?/2·ln x – x?/4 + C.

Wprowadzenie nowej zmiennej – to odbiór metody podstawiania. Przy tym zmienia się i sama подынтегральная funkcji i jej argument:?x·v(x – 2)dx = [t=x-2 > x = t?+2 > dx=2·tdt] = ?(t? + 2)·t·2·tdt = ?(2·t^4 + 4·t?)dt = 2·t^5/5 + 4·t?/3 + C = [x=t?+2] = 2/5·(x – 2)^(5/2) + 4/3·(x – 2)^(3/2) + C.

Metoda iniekcji pod znak mechanizmu różnicowego zakłada przejście do nowej funkcji. Niech ?f(x) = F(x) + C i u = g(x), wtedy ?f(u)du = F(u) + C, [g'(x) = dg(x)]. Przykład:?(2·x + 3)?dx = [dx = 1/2·d(2·x + 3)] = 1/2·?(2·x + 3)?d(2·x + 3) = 1/6·(2·x + 3)? + C.