Zadanie wyszukiwania wektor normalnej prostej na płaszczyźnie i płaszczyzny w przestrzeni jest zbyt proste. Faktycznie kończy się nagraniem ogólnych równań prostej lub płaszczyzny. Ponieważ krzywa na płaszczyźnie tylko przypadek powierzchni w przestrzeni, to właśnie o нормалях do powierzchni i będzie mowa.
Instrukcja
1
Pierwsza metoda To sposób najprostszy, ale do jego zrozumienia potrzebna jest znajomość pojęcia pola skalarne. Zresztą i naturalny w tym pytaniu czytelnik może korzystać z wyników formuły tej kwestii.
2
Wiadomo, że skalarne pole f jest określony jako f=f(x, y, z), a każda powierzchnia przy tym – to powierzchnia poziomu f(x, y, z)=C (C=const). Ponadto prostopadłe do powierzchni poziomu jest zgodny z gradientem pola skalarne w punkcie.
3
Gradient скалярно pola (funkcji trzech zmiennych) nazywa się wektor g=gradf=iдf/dx+jдf/zdalnego sterowania+kдf/дz={дf/dh, дf/zdalnego sterowania, дf/дz}. Tak jak normalny długość nie ma znaczenia, pozostaje tylko nagrać odpowiedź. Prostopadłe do поверхностиf(x, y, z)-C=0 w точкеМ0(x0, y0, z0) n=gradf=iдf/dx+jдf/zdalnego sterowania+kдf/дz={дf/dh, дf/zdalnego sterowania, дf/дz}.
4
Drugi sposób to Niech powierzchnia określona jest wzorem F(x, y, z)=0. Aby można było w przyszłości przeprowadzić analogię z pierwszym sposobem, należy wziąć pod uwagę, że pochodna stałej jest równa zero, i F jest określony jako f(x, y, z)-C=0 (C=const). Jeśli mogę dokontać przekrój tej powierzchni o dowolnej płaszczyzny, to powstałą krzywą przestrzenną można uznać za годографом któreś wektor funkcji r(t)= ix(t)x+jy(t)+kz(t). Wtedy pochodna wektora r'(t)= ix'(t)+jy'(t)+kz'(t) jest skierowana stycznie w pewnym momencie M0(x0, y0, z0) powierzchni (patrz rys. 1).
5
Aby nie było nieporozumień, aktualne współrzędne stycznej bezpośredni należy zaznaczyć, np. kursywą (x, y, z). Kanoniczne równanie prostej stycznej, biorąc pod uwagę, że r'(t0) – prowadzący wektor, zapisywany jako (x-x(t0))/(dx(t0)/dt)= (y-y(t0))/(dy(t0)/dt)= (z-z(t0))/(dz(t0)/dt).
6
Po wprowadzeniu współrzędnych wektor funkcji do równania powierzchni f(x, y, z)-C=0 i продифференцировав w t dostaniesz (дf/dh)(dh/дt)+(дf/zdalnego sterowania) (du/дt)+(дf/дz)(дz/дt)=0. Równość stanowi iloczyn skalarny pewnego wektora n(дf/dh, дf/zdalnego sterowania, дf/дz) i r'(x'(t), y'(t), z'(t)). Tak jak jest ona równa zero, to n(дf/dh, дf/zdalnego sterowania, дf/дz) i jest poszukiwany wektor normalny. Jest oczywiste, że wyniki obu metod są identyczne.
7
Przykład (ma teoretyczna). Znaleźć wektor normalny do powierzchni określonej klasycznym równaniem funkcji dwóch zmiennych z=z(x, y). Rozwiązanie. Przepisz to równanie w formie z-z(x, y)=F(x, y, z)=0. Zgodnie każdemu z предложных sposobów, okazuje się, że n(-дz/hh-дz/zdalnego sterowania, 1) – szukany wektor normalny.
Kategoria:
Matematyka
