Jak znaleźć odstępach rosnącej i malejącej

Wiadomo, że dla rosnącej funkcji y=f(x) jej pochodna f'(x)>0 i odpowiednio f'(x)

Przykład: znajdź odstępach monotonii y=(x^3)/(4-x^2). Rozwiązanie. Funkcja jest określona na całej osi liczbowej, z wyjątkiem x=2 i x=-2. Poza tym ona нечетна. Naprawdę, f(-x)=((-x)^3)/(4-(-x)^2)= -(x^3)/(4-x^2)=f(-x). Oznacza to, że f(x) jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Dlatego badanie zachowania funkcji można dokonać tylko dla dodatnich wartości x, a następnie dobudować ujemną gałąź symetrycznie pozytywnej.y’=(3(x^2)(4-x^2)+2x(x^3))/((4-x^2)^2)=(x^2)(12-x^2)/((4-x^2)^2).y’ – nie istnieje przy x=2 i x=-2, ale przy tym nie istnieje i sama funkcja.

Teraz trzeba znaleźć przedziały monotonii funkcji. W tym celu należy rozwiązać nierówność: (x^2)(12-x^2)/((4-x^2)^2)>0 i (x^2)(x-2sqrt3)(x+2sqrt3)((x-2)^2) (x+2)^2))0. Użyj metody odstępach czasu, przy rozwiązywaniu nierówności. Wtedy uda (patrz rys. 1).

Dalej należy rozważyć zachowanie funkcji w odstępach monotonii, dodając tu wszystkie informacje z zakresu ujemnych wartości osi liczbowej (w życie symetrii wszystkie informacje tam обратны, w tym znak).f'(x)>0 przy –?

Przykład 2. Znaleźć odstępach rosnącej i malejącej funkcji y=x+lnx/x.Rozwiązanie. Obszar wykrywania funkcji – x>0.y’=1+(1-lnx)/(x^2)=(x^2+1-lnx)/(x^2). Znak pochodnej po x>0 zależy nawias (x^2+1-lnx). Tak jak x^2+1>lnx, to y’>0. W ten sposób funkcja rośnie na całej swojej dziedzinie wykrywania.

Przykład 3. Znaleźć przedziały monotonii funkcji y’=x^4-2x^2-5.Rozwiązanie. y’=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1). Stosując metodę odstępach czasu (patrz rys. 2), należy znaleźć odstępach pozytywnych i negatywnych wartości pochodnej. Stosując metodę odstępach czasu, można szybko ustalić, że na przerwach x0 funkcja rośnie.