Liczb rzeczywistych nie wystarczy, aby rozwiązać każde równanie kwadratowe. Najprostszym z równań kwadratowych, nie mających korzeni wśród liczb rzeczywistych – jest to x^2+1=0. Po jego rozwiązaniu okazuje się, że x=±sqrt(-1), a zgodnie z prawem elementarnej algebry, wyciągnąć pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie.
Trzeba
- – papier;
- – uchwyt.
Instrukcja
1
W tym przypadku są dwa sposoby: pierwszy – stosować się do obowiązujących zakazów i uznać, że to równanie korzeni nie ma; drugi – rozbudowę systemu liczb rzeczywistych do tego stopnia, że równanie będzie posiadać korzeniem.Tak powstało pojęcie liczb zespolonych typu z=a+ib, w których (i^2)=-1, gdzie i – jednostka urojona. Liczby a i b nazywane są, odpowiednio, rzeczywistej i części urojonej liczby z Rez i Imz.Ważną rolę w działaniach na liczbach zespolonych odgrywają liczby kompleksowo-powiązane. Powiązanym do kompleksowego liczby z=a+ib nazywa zs=a-ib, czyli liczba ma przeciwny znak przed umowną jednostką. Tak, jeśli z=3+2i, to zs=3-2i.Każda rzeczywista liczba jest szczególnym przypadkiem zespolonej, część urojona jest równa zero. 0+i0 – liczba zespolona, zero.
2
Liczby zespolone można dodawać i перемножать tak samo, jak to robią z wyrażeń algebraicznych. Przy tym znane prawa dodawania i mnożenia pozostają w mocy. Niech z1=a1+ib1, z2=a2+ib2.1. Dodawanie i odejmowanie.z1+z2=(a1+a2)+i(b1+b2), z1-z2=(a1-a2)+i(b1-b2). 2. Mnożenie.z1*z2=(a1+ib1)(a2+ib2)=a1a2+ia1b2+ia2b1+(i^2)b1b2=(a1a2-b1b2)+i(a1b2+a2b1).Przy mnożeniu po prostu otwierają nawiasy i stosują definicję i^2=-1. Dzieło kompleksowo-powiązanych liczb jest liczbą rzeczywistą: z*zs=(a+ib)(a-ib)==a^2-(i^2)(b^2) = a^2+b^2.
3
3. Dzielenie.Aby prowadzić prywatne z1/z2=(a1+ib1)/(a2+ib2) do standardowego pamiętać trzeba pozbyć się wyimaginowanej jednostki w mianowniku. Najłatwiej zrobić to pomnożyć licznik i mianownik przez liczbę, powiązane mianownika: ((a1+ib1)(a2-ib2))/((a2+ib2)(a2-ib2))=((a1a2+b1b2)+i(a2b1-a1b2))/(a^2+b^2)= =(a1a2+b1b2)/(a^2+b^2)+i(a2b1-a1b2)/(a^2+b^2).Operacje dodawania i odejmowania oraz mnożenia i dzielenia są wzajemnie obciążeniami.
4
Przykład. Obliczyć (1-3i)(4+i)/(2-2i)=(4-12i+i+3)(2+2i)/((2-2i)(2+2i))=(7-11i)(2+2i)/(4+4)=(14+22)/8+i(-22+14)/8=9/2-іРассмотрите geometryczną interpretację liczb zespolonych. Do tego na płaszczyźnie z prostokątnym kartezjańskim układem współrzędnych 0xy każdego kompleksowego liczby z=a+ib, należy umieścić w zgodność punkt płaszczyzny o współrzędnych a i b (patrz rys. 1). Płaszczyzna, na której realizowane jest zgodność, nazywa kompleksowej płaszczyzną. Na osi 0x znajdują się rzeczywiste liczby, dlatego nazywa się ważną osią. Na osi 0y znajduje się liczb urojonych, nosi nazwę wyimaginowanej osi.
5
C każdym punktem z kompleksowej płaszczyźnie jest związana promień-wektor tego punktu. Długość promienia-wektora, изображающего liczba zespolona z, nazywa модулемг=|z| liczby zespolonej; a kąt między dodatnim kierunkiem osi rzeczywistej i kierunkiem wektora 0Z, nazywa się argumentem argz tej liczby zespolonej.
6
Argument liczby zespolonej jest uważany za dodatni, jeżeli jest on liczony od dodatniego kierunku osi 0x przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i ujemna w przeciwnym kierunku. Jednego kompleksowego liczby spełnia wiele wartości argumentu argz+2пк. Z tych wartości głównymi uważane za wartości argz, leżące w granicach od –n do p. Powiązane liczby zespolone z i zs mają równe moduły, a ich argumenty są równe w absolutnej wielkości, ale różnią się znakiem.
7
W ten sposób, |z|^2=a^2+b^2, |z|=sqrt(a^2+b^2). Tak, jeśli z=3-5i, to |z|=sqrt(9+25)=6. Ponadto, tak jak z*zs=|z|^2=a^2+b^2, to staje się możliwe obliczenie modułów całych złożonych wyrażeń, w których jednostka urojona może pojawiać się wielokrotnie.Ponieważ z=(1-3i)(4+i)/(2-2i)=9/2-i, bezpośrednie obliczenie modułu z da |z|^2=81/4+1=85/4 i |z|=sqrt(85)/2.Z pominięciem etapu obliczeń wyrażenie, biorąc pod uwagę, że zs=(1+3i)(4-i)/(2+2i), można zapisać: |z|^2=z*zs==(1-3i)(1+3i)(4+i)(4-i)/((2-2i)(2+2i))=(1+9)(16+1)/(4+4)=85/4 i |z|=sqrt(85)/2.
Kategoria:
Matematyka
