Jak zdefiniować punkt ekstremum

Znajdź pochodną funkcji. Na przykład, dla funkcji y = 2x/(x*x + 1) pochodna będzie obliczana w następujący sposób:y’ = (2 (x*x + 1) – 2x*2x ) / (x*x + 1) * (x*x + 1) = (2 – 2x*x) / (x*x + 1) * (x*x + 1).

Приравняйте znaleźć pochodną do zera:(2 – 2x*x) / (x*x + 1) * (x*x + 1) = 0;2 – 2x*x = 0;(1 – x)(1 + x) = 0.

Określ wartość zmiennej otrzymanego wyrażenia, to jest to wartość, przy której zmienna jest równa zero. Dla analizowanego przykładu otrzymamy:x1 = 1, x2 = -1.

Wykorzystując uzyskane w poprzednim kroku wartości, rozbić układ współrzędnych prostą w odstępach. Nałóż na bezpośrednie również punkty nieciągłości funkcji. Zbiór takich punktów na osi współrzędnych nazywa się punktami, „podejrzane” na maksimum. W naszym przykładzie bezpośredni będzie podzielona jest na trzy przedziale: od minus nieskończoności do -1; od -1 do 1; od 1 do plus nieskończoności.

Oblicz, na jakiej z получившихся odstępu pochodna funkcji będzie pozytywna, a na jakich przyjmie wartość ujemną. Do tego ustawić wartość z przedziału w pochodną.

Dla pierwszego okresu weź, na przykład, wartość -2. Przy tym pochodna będzie równa -0,24. Dla drugiego okresu weź wartość 0; pochodna funkcji wynosi -0,24. Wzięte na trzecim przedziale wartość równą 2, da pochodną -0,24.

Rozważ kolejno wszystkie przerwy między punktami łączącymi cięcia. Jeśli po przejściu przez „podejrzane” punkt pochodna zmienia znak z plusa na minus, to taki punkt będzie maksimum funkcji. Jeżeli ma miejsce zmiana znak z minusa na plus, przed nami punkt minimum.

Jak widać z przykładu, przechodząc przez punkt -1, pochodna zmienia znak z minusa na plus. Innymi słowy, jest to punkt minimum. Po przejściu przez 1 zmienia znak z plusa na minus, więc mamy do czynienia z экстремумом, zwanym punktem maksimum funkcji.

Oblicz wartość tej funkcji na końcach odcinka i znalezionych punktach ekstremum. Wybierz najmniejszą i największą wartość.