Jak ustalić krytyczne punkty

Pojęcie punktu krytycznego funkcji jest ściśle związane z pojęciem jej pochodnej w tym punkcie. A mianowicie, punkt nazywa się krytyczna, gdy pochodna funkcji w nim nie istnieje, lub jest równa zeru. Krytyczne punkty są wewnętrznymi punktami zakresie określenia funkcji.

Aby określić krytyczne punkty z tej funkcji, należy wykonać kilka czynności: znajdź obszar wykrywania funkcji, obliczyć jej pochodną, znaleźć obszar definicji pochodnej funkcji, znaleźć punkt obsługi pochodnej do zera, udowodnić przynależność znalezionych punktów zakresie określenia pierwotnej funkcji.

Przykład 1Определите punkty krytyczne funkcji y = (x – 3)?·(x-2).

РешениеНайдите obszar wykrywania funkcji, w tym przypadku nie ma ograniczeń: x ? (-?; +?);Oblicz pochodną y’. Według zasad różnicowania iloczyn dwóch funkcji jest: y’ = ((x – 3)?)’·(x – 2) + (x – 3)?·(x – 2)’ = 2·(x – 3)·(x – 2) + (x – 3)?·1. Po ujawnieniu nawiasów uzyskuje się równanie: y’ = 3·x? – 16·x + 21.

Znajdź obszar definicji pochodnej funkcji: x ? (-?; +?).Rozwiąż równanie 3·x? – 16·x + 21 = 0 aby znaleźć, w jakich x pochodna zwraca się do zera: 3·x? – 16·x + 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4×1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 – 2)/6 = 7/3.Więc pochodna zwraca się do zera przy wartościach x, równych 3 i 7/3.

Określ, należą czy znalezione punkty zakresie określenia pierwotnej funkcji. Ponieważ x (-?; +?), oba te punkty są krytyczne.

Przykład 2Определите punkty krytyczne funkcji y = x? – 2/x.

РешениеОбласть definicje funkcji: x ? (-?; 0) ? (0; +?), ponieważ x jest w mianowniku.Oblicz pochodną y’ = 2·x + 2/x?.

Obszar definicji pochodnej funkcji jest taka sama, że masz oryginalnego: x ? (-?; 0) ? (0; +?).Rozwiąż równanie 2·x + 2/x? = 0:2·x = -2/x? > x = -1.

Więc pochodna zwraca się do zera przy x = -1. Wykonana jest niezbędny, ale niewystarczający warunek ważności. Ponieważ x=-1 wpada w przedział (-?; 0) ? (0; +?), ten punkt są krytycznej.