Jak policzyć interpolacji

Wyobraź sobie, że funkcja y=f(x) na odcinku [a,b] jest ustawiona таблично (patrz rys. 1). Dane z tabeli najczęściej zawierają danych doświadczalnych. Argument zapisywany jest w porządku rosnącym (patrz rys. 1). Tutaj liczby xi (i=1,2,…,n) są nazywane punktami dopasowania f(x) g(x) lub po prostu węzłami.

Funkcja g(x) nazywa się интерполирующей dla f(x), a f(x) интерполируемой, jeśli jej wartości w węzłach interpolacji xi (i=1,2,…,n) są zgodne z zadanymi wartościami funkcji f(x), czyli spełnione są równości: g(x1)=y1, g(x2)=y2,…, g(xn)=yn. (1)Tak, określająca właściwość – przypadek f(x) i g(x) w węzłach (patrz rys. 2).

W innych miejscach może się dziać co chce. Tak, jeśli интерполирующая funkcja zawiera sinusoidy (косинусоиды), to odchylenie od f(x) może być dość znaczne, co jest mało prawdopodobne. Dlatego są używane paraboliczne (dokładniej, полиномиальные) interpolacji.

Dla funkcji określonej w tabeli, tylko muszę znaleźć wielomian najmniejszym stopniu P(x) taka, że są spełnione warunki interpolacji (1): P(xi)=yi, i=1,2,…,n. Można udowodnić, że stopień tego wielomianu nie przekracza (n-1). Aby uniknąć nieporozumień, dalej zadanie będziemy decydować na konkretnym przykładzie четырехточечной zadania.

Niech punkty kontrolne: x1=-1, x2=1, x3=3, x4=5. y1=y(-1)=1, y2=y(1)=-5, y3=y(3)=29, y4=y(5)=245.W związku z przedstawionymi powyżej, poszukiwanej interpolacji należy szukać w postaci P3(x). Zapisz szukany wielomian w postaci P3(3)=ax^3+bx^2+cx+d i ułóż układ równań (w postaci liczbowej) a(xi)^3+b(xi)^2+c(xi)+d=yi (i=1, 2, 3, 4) w stosunku do a, b, c, d (patrz rys. 3).

Okazało się układ równań liniowych. Rozwiąż ją w dowolny znany ci sposób (najprościej metodą Gaussa).W tym przykładzie odpowiedź: a=3, b=-4, c=-6, d=2.Odpowiedź. Интерполирующая funkcja (krzywa) g(x)=3x^3-4x^2-6x+2.