Jak wyprowadzić moment bezwładności

Pojęcie momentu bezwładności wiąże się z różnych obiektów, które mogą obracać się wokół osi. To pokazuje, jak te obiekty są obojętne podczas obrotów. Wartość ta jest podobna do masy ciała, określającego jego bezwładność w ruchu translacyjnym.

Moment bezwładności zależy nie tylko od masy obiektu, ale i jego położenia względem osi obrotu. Jest on równy sumie momentu bezwładności tego ciała względem przechodzącej przez środek masy, i iloczynu masy (przekrój) przez kwadrat odległości między stałym i rzeczywistej osi:J = J0 + S·d?.

Przy wyprowadzeniu równań są używane formuły integralnego obliczenia, ponieważ wartość ta jest sumą kolejności elementem, innymi słowy, suma szeregu liczbowego:J0 = ?y?dF, gdzie dF – powierzchnia przekroju elementu.

Spróbujmy wyprowadzić moment bezwładności do najprostszej postaci, na przykład, pionowego prostokąta względem osi y, przechodzącej przez środek masy. Do tego psychicznie rozbijemy go na paski elementarne o szerokości dy o łącznej długości równej długości kawałki a. Wtedy:J0 = ?y?bdy na przedziale [-a/2; a/2], b – szerokość prostokąta.

Teraz niech oś obrotu przechodzi przez środek prostokąta, a w odległości z od niej i równolegle do niej. Wtedy moment bezwładności będzie równy sumie początkowego momentu, znajdujący się na pierwszym kroku, i jest iloczynowi masy (przekrój) na c?:J = J0 + S·c?.

Ponieważ S = ?bdy:J = ?y?bdy + ?c?bdy = ?(y? + c?)bdy.

Oblicz moment bezwładności dla trójwymiarowego kształtu, na przykład kuli. W tym przypadku elementami są płaskie dyski o grubości dh. Wykonujemy podział prostopadle do osi obrotu. Obliczyć promień każdego takiego dysku:r = v(R? – h?).

Masa takiego dysku będzie równa p·?·r?dh, jako iloczyn objętości dV = ?·r?dh) na gęstość. Wtedy moment bezwładności wygląda w następujący sposób:dJ = r?dm = ?·p·(R^4 – 2*R?*h? +h^4)dh, skąd J = 2·?dJ [0; R] = 2/5·m·R?.