Jak znaleźć odstępach rosnącej i malejącej funkcji

Określenie odstępu rosnącej i malejącej funkcji – jest to jeden z najważniejszych aspektów badania zachowania funkcji wraz ze znalezieniem punktów zakrętów, w których dochodzi do złamania od malejącej do wzrostu i odwrotnie.

Instrukcja

1
Funkcja y = F(x) jest rosnącym na pewnym przedziale, jeżeli dla dowolnych punktów x1 F(x2), gdzie x1 jest zawsze > x2 dla dowolnych punktów w przedziale.
2
Istnieją wystarczające oznaki rosnącej i malejącej funkcji, które wynikają z wyniku obliczenia pochodnej. Jeśli pochodna jest dodatnia dla każdego miejsca w przedziale, to funkcja rośnie, jeśli jest ujemna – ubywa.
3
Aby znaleźć odstępach rosnącej i malejącej funkcji, trzeba znaleźć obszar jej ustalenia, obliczyć pochodną, rozwiązać nierówności typu F'(x) > 0 i F'(x)
Rozważmy przykład.
Znaleźć odstępach rosnącej i malejącej funkcji y = (3·x? + 2·x – 4)/x?.

Rozwiązanie.
1. Znajdziemy obszar wykrywania funkcji. Oczywiście, że wyraz stojący w mianowniku musi być różne od zera. Dlatego punkt 0 wyłączone z zakresu definicji: funkcja określona przy x ? (-?; 0)?(0; +?).

2. Obliczymy pochodną funkcji:
y'(x) = ((3·x? + 2·x – 4)’ ·x? – (3·x? + 2·x – 4) · (x?)’)/x^4 = ((6·x + 2) ·x? – (3·x? + 2·x – 4) ·2·x)/x^4 = (6·x? + 2·x? – 6·x? – 4·x? + 8·x)/x^4 = (8·x – 2·x?)/x^4 = 2· (4 – x)/x?.

3. Rozwiązać nierówności y’ > 0 i y’ 0;
(4 – x)/x?
4. Lewa strona nierówności jest jeden ważny pierwiastek x = 4 i zwraca się w nieskończoność, gdy x = 0. Dlatego wartość x = 4 włącza się i w okresie rosnącej funkcji, i w okresie malejącej, a punkt 0 nie włącza się nigdzie.
Tak więc, poszukiwana funkcja rośnie w przedziale x ? (-?; 0) ? [2; +?) i ubywa, gdy x (0; 2].

4
Rozważmy przykład.
Znaleźć odstępach rosnącej i malejącej funkcji y = (3·x? + 2·x – 4)/x?.
5
Rozwiązanie.
1. Znajdziemy obszar wykrywania funkcji. Oczywiście, że wyraz stojący w mianowniku musi być różne od zera. Dlatego punkt 0 wyłączone z zakresu definicji: funkcja określona przy x ? (-?; 0)?(0; +?).
6
2. Obliczymy pochodną funkcji:
y'(x) = ((3·x? + 2·x – 4)’ ·x? – (3·x? + 2·x – 4) · (x?)’)/x^4 = ((6·x + 2) ·x? – (3·x? + 2·x – 4) ·2·x)/x^4 = (6·x? + 2·x? – 6·x? – 4·x? + 8·x)/x^4 = (8·x – 2·x?)/x^4 = 2· (4 – x)/x?.
7
3. Rozwiązać nierówności y’ > 0 i y’ 0;
(4 – x)/x?
4. Lewa strona nierówności jest jeden ważny pierwiastek x = 4 i zwraca się w nieskończoność, gdy x = 0. Dlatego wartość x = 4 włącza się i w okresie rosnącej funkcji, i w okresie malejącej, a punkt 0 nie włącza się nigdzie.
Tak więc, poszukiwana funkcja rośnie w przedziale x ? (-?; 0) ? [2; +?) i ubywa, gdy x (0; 2].
8
4. Lewa strona nierówności jest jeden ważny pierwiastek x = 4 i zwraca się w nieskończoność, gdy x = 0. Dlatego wartość x = 4 włącza się i w okresie rosnącej funkcji, i w okresie malejącej, a punkt 0 nie włącza się nigdzie.
Tak więc, poszukiwana funkcja rośnie w przedziale x ? (-?; 0) ? [2; +?) i ubywa, gdy x (0; 2].
Powiązane artykuły
Pełna wersja
© Wszelkie prawa zastrzeżone.
Do góry