Jak znaleźć gradient funkcji
Gradient funkcji – wektorowa wielkość, znalezienie który wiąże się z określeniem prywatnych pochodnych funkcji. Kierunek gradientu wskazuje drogę наискорейшего wzrostu funkcji z jednego punktu pola skalarne do innego.
Instrukcja
1
Do rozwiązania zadania na gradient funkcji używane są metody rachunku różnicowego, a mianowicie znalezienie różniczkowych pierwszego rzędu z trzech zmiennych. Zakłada się przy tym, że sama funkcja i wszystkie jej prywatne pochodne mają właściwość ciągłości w zakresie określenia funkcji.
2
Gradient to wektor, którego kierunek wskazuje kierunek maksymalnie szybkiego wzrostu funkcji F Dla tego na wykresie zostały wybrane dwa punkty M0 i M1, które są końcem wektora. Wartość gradientu jest równa szybkości wzrostu funkcji od punktu M0 do punktu M1.
3
Funkcja дифференцируема we wszystkich punktach tego wektora, dlatego układami współrzędnych wektora na osiach współrzędnych są jej prywatne pochodne. Następnie wzór gradientu wygląda w następujący sposób:grad = (?F/?x)•i + (?F/?y)•j + (?F/?z)•k, gdzie i, j, k – współrzędne pojedynczego wektora. Innymi słowy, gradient funkcji – jest to wektor, którego współrzędnymi są jej prywatne pochodne grad F = (?F/?x, ?F/?y, ?F/?z).
4
Пример1.Niech ustawiona funkcja F = sin(x•z?)/y. Chcesz znaleźć jej gradient w punkcie (?/6, 1/4, 1).
5
Rozwiązanie.Określ prywatne pochodne dla każdej zmiennej: F ’ _х = 1/y•соѕ(x•z?)•z?;F ’ _y = sin(x•z?)•(-1)•1/(y?);F ’ _z = 1/y•соѕ(x•z?)•2•x•z.
6
Podstawiając znane wartości współrzędnych punktu:F ’ _x = 4•соѕ(?/6) = 2•v3; F ’ _y = sin(?/6)•(-1)•16 = -8; F ’ _z = 4•соѕ(?/6)•2•?/6 = 2•?/v3.
7
Zastosuj formułę gradientu funkcji:grаd F = 2•v3•i 8•j + 2•?/v3•k.
8
Пример2.Znajdź współrzędne gradientu funkcji F = y•arсtg (z/x) w punkcie (1, 2, 1).
9
Rozwiązanie.F ’ _х = 0•аrсtg (z/x) + y•(аrсtg(z/x))’_х = y•1/(1 + (z/x)?)•(-z/x?) = -y•z/(x?•(1 + (z/x)?)) = -1;F ’ _y = 1•аrсtg(z/x) = аrсtg 1 = ?/4;F ’ _z = 0•аrсtg(z/x) + y•(аrсtg(z/x))’_z = y•1/(1 + (z/x)?)•1/x = y/(x•(1 + (z/x)?)) = 1.grаd = (-1, ?/4, 1).