Jak znaleźć wektory własne i wartości własne dla macierzy
Przy rozważaniu tej kwestii należy pamiętać, że wszystkie używane przedmioty – to wektory, przy czym n-wymiarowa. Podczas nagrywania nie są używane żadne charakterystyczne objawy odpowiadające klasycznym wektorów.
Instrukcja
1
Liczba k nazywają własnej wartości (liczby) macierzy A, jeśli istnieje wektor x taki, że Ax=kx. (1)Przy czym wektor x jest nazywany wektorem własnym macierzy A odpowiadającym liczbie k.W przestrzeni R^n (patrz rys. 1) macierz A ma postać jak na rysunku.
2
Należy umieścić zadanie znalezienia własnych i wektorów macierzy A. Niech własny wektor x jest określony współrzędnymi. W macierzy postaci jest zapisane matrycą-kolumną, który dla wygody należy przedstawić transpozycja wierszem. X=(x1,x2,…,xn)^T. na podstawie (1), Ah-ch=0 lub Ah-кЕх=0, gdzie E – pojedyncza matryca (jednostki znajdują się na najważniejsze przekątnej, wszystkie inne elementy – zera). Wtedy (A-kE)x=0. (2)
3
Wyrażenie (2) jest systemem liniowych jednorodnych równań algebraicznych, która ma zera rozwiązania (własny wektor). Dlatego główny wyznacznik układu (2) jest równy zero, czyli |A-kE|=0. (3) Ostatnia równość względem własnej wartości k nazywa się równaniem charakterystycznym macierzy A i w rozwiniętej formie ma postać (patrz rys. 2).
4
To równanie algebraiczne n-go stopnia. Rzeczywiste korzenie równania charakterystycznego są własnymi liczbami (wartości) macierzy A.
5
Zastępując korzeń k charakterystycznego równania w system (2), otrzymują jednolity układ równań liniowych z вырожденной matrycy (jej wyznacznik jest równy zero). Każde zera rozwiązania tego układu jest wektor własny macierzy A, dopasowany własnego liczby k (czyli pierwiastka równania charakterystycznego).
6
Przykład. Znaleźć wartości własne i wektory macierzy A (patrz rysunek 3).Rozwiązanie. Charakterystyczna równanie przedstawione na rys. 3. Rozwiń dostawca i znajdź własne numery macierzy, które są korzeniami tego równania (3-k)(-1-k)-5=0, (k-3)(k+1)-5=0, k^2-2k-8=0.Jego korzenie k1=4, k2=-2
7
a) wektory Własne odpowiadające k1=4, są, przez rozwiązanie układu (A-4kE)x=0. Przy tym wymaga tylko jeden jej równanie, tak jak wyznacznik systemu notorycznie jest równy zero. Jeśli umieścić x=(x1, x2)^T, to pierwsze równanie układu (1-4)x1+x2=0, -3×1+x2=0. Jeśli założyć, że x1=1 (nie zero), to x2=3. Tak jak niezerowych rozwiązań jednorodnej systemu z вырожденной matrycą dowolnie dużo, to wszystko wiele wektorów własnych odpowiadających pierwszego własnego liczby x =C1(1, 3), C1=const.
8
b) Znajdź wektory własne odpowiadające k2=-2. Przy rozwiązywaniu systemu (A+2kE)x=0, jej pierwsze równanie (3+2)x1+x2=0, 5×1+x2=0.Jeśli umieścić x1=1, x2=-5. Odpowiednie wektory własne x =C2(1, 3), C2=const. Całkowity zbiór wszystkich wektorów własnych danej macierzy: x =C1(1, 3)+ C2(1, 3).