Jak znaleźć ogólne rozwiązanie równania różnicowego?
Każde równania różniczkowego (ZDALNEGO sterowania), poza poszukiwanej funkcji i argumentu zawiera w sobie pochodne tej funkcji. Różnicowanie i integracja są odwrotność operacji. Dlatego proces rozwiązania (ZDALNEGO sterowania), często nazywany jego oceną pobranego, a samo rozwiązanie – całką. Nieokreślone całki zawierają dowolne stałe, więc ZDALNEGO sterowania zawiera również stałe, a samo rozwiązanie, określoną z dokładnością do stałych, jest wspólne.
Instrukcja
1
Ogólne rozwiązanie ZDALNEGO sterowania dowolnej kolejności stanowić absolutnie żadnego powodu. Ono powstaje sama z siebie, jeśli w trakcie jego otrzymania nie były używane początkowe lub brzegowe warunki. Inna sprawa, jeśli niektóre rozwiązania nie było, a oni byli wybierani według określonych algorytmów, uzyskanym na podstawie teoretycznych informacji. Tak właśnie się dzieje, jeśli chodzi o liniowych ZDALNEGO sterowania przy stałym kursie n-go rzędu.
2
Liniowe jednorodne ZDALNEGO sterowania (ЛОДУ) n-go rzędu ma postać (patrz rys. 1).Jeśli jego lewą część oznaczyć jako liniowy operator różnicowy L[y], to ЛОДУ перепишется w postaci L[y]=0 i L[y]=f(x) – dla liniowego niejednorodnego równania różnicowego (ЛНДУ).
3
Jeśli szukać rozwiązania ЛОДУ w postaci y=exp(k•x), y’=k•exp(k•x), y=(k^2)•exp(k•x), …, y^(n-1)=(k^(n-1))•exp(k•x), y^n=(k^n)•exp(k•x). Po redukcji na y=exp(k•x), dochodzimy do równania: k^n+(a1)k^(n-1)+…+a(n-1)•k+an=0, zwanego charakterystycznym. To proste równanie algebraiczne. Tak więc, jeśli k – pierwiastek równania charakterystycznego, to funkcja y=exp[k•x] – rozwiązanie ЛОДУ.
4
Równanie algebraiczne n-stopnia ma n korzeni (z uwzględnieniem wielokrotności i kompleksowych). Każdemu realne źródła ki wielości „jeden” odpowiada funkcja y=exp[(ki)x], więc, jeśli wszystkie są prawidłowe i są różne, to biorąc pod uwagę fakt, że dowolna liniowa kombinacja tych wystawca też jest rozwiązaniem, można uzyskać ogólne rozwiązanie ЛОДУ: y=C1•exp[(k1)•x]+ C2•exp[(k2)•x]+…+Cn•exp[(kn)•x].
5
W ogólnym przypadku, wśród rozwiązań równania charakterystycznego mogą być prawdziwe wielokrotności i kompleksowo powiązane korzenie. Podczas tworzenia wspólnego rozwiązania w wyznaczonym sytuacji ograniczać sobie ЛОДУ drugiego rzędu. Tutaj możliwe jest uzyskanie dwóch korzeni równania charakterystycznego. Niech to będzie kompleksowo dopasowana para k1=p+i•q i k2=p-i•q. Zastosowanie wystawców z takimi wynikami da kompleksowo-cyfrowe funkcje w pierwotnym równaniu z rzeczywistymi współczynnikami. Dlatego ich przekształcają się według wzoru Eulera i prowadzą do myśli y1=exp(p•x)•sin(q•x) i y2=exp(p•x)cos(q•x). W przypadku jednego rzeczowe korzenia krotności r=2 używają y1=exp(p•x) i y2=x•exp(p•x).
6
Ostateczny algorytm. Chcesz uzyskać ogólne rozwiązanie ЛОДУ drugiego rzędu y”+a1•y’+a2•y=0.Sporządź charakterystyczna równanie k^2+a1•k+a2=0.Jeśli to ma rzeczywiste korzenie k1?k2, to jego ogólne rozwiązanie wybierz w postaci y=C1•exp[(k1)•x]+ C2•exp[(k2)•x].Jeśli istnieje jeden ważny pierwiastek k, wielość r=2, y=C1•exp[k•x]+ C2•x•exp[k2•x]=exp[k•x](C1+ C2•x•exp[k•x]).Jeśli jest kompleksowo dopasowana para korzeni k1=p+i•q i k2=p-i•q, to odpowiedź zapisz w postaci y=C1•exp(p•x)sin(q•x)++C2•exp(p•x)cos(q•x).
Należy zwrócić uwagę
Wiadomo, że ogólne rozwiązanie ЛНДУ L[y]=f(x) jest równa sumie wspólnego rozwiązania ЛОДУ i prywatnej decyzji ЛНДУ. Tak jak prywatne znaleziono rozwiązanie, to zawarte metody można użyć do sporządzenia wspólnego rozwiązania ЛНДУ.