Jak rozwiązywać według wzoru Kramera
Metoda Kramera jest algorytm, który pozwala rozwiązać układ równań liniowych za pomocą macierzy. Autor metody – Gabriel Cramer, który żył w pierwszej połowie XVIII wieku.
Instrukcja
1
Niech ustawiony jakiś układ równań liniowych. Należy ją zapisać w lub w postaci. Podstawową matrycę pójdą współczynniki przed zmiennymi. Do zapisu dodatkowych macierzy potrzebne będą członkowie temat, które znajdują się zazwyczaj po prawej stronie znaku równości.
2
Każda ze zmiennych musi być swój „numer seryjny”. Na przykład, we wszystkich równaniach systemu na pierwszym miejscu stoi x1, na drugim – x2, na trzecim – x3 itp. Wtedy dla każdej z tych zmiennych będzie spełniać swoje kolumny w matrycy.
3
W celu zastosowania metody Kramera konieczne, aby wynikająca z matryca była kwadratowy. Ten warunek spełnia równość liczby nieznanych i liczby równań w układzie.
4
Znajdź uwarunkowań matrycy głównej ?. Musi być niezerowym: tylko w tym przypadku rozwiązanie systemu będzie jedynym i jednoznacznie określone.
5
Aby zapisać artykuł uwarunkowań ?(i) wymienić i. kolumna kolumny wolnych członków. Liczba dodatkowych determinanty będzie równa liczbie zmiennych w systemie. Oblicz wszystkie determinanty.
6
Z uzyskanych determinanty pozostało tylko znaleźć wartość nieznanych. W ogólnej postaci, formuła celu znalezienia zmiennych wygląda tak: x(i) = ?(i)/?.
7
Przykład. System, składający się z trzech równań liniowych, zawierająca trzy niewiadome x1, x2 i x3, ma postać:a11•x1 + a12•x2 + a13•x3 = b1,a21•x1 + a22•x2 + a23•x3 = b2 a31•x1 + a32•x2 + a33•x3 = b3.
8
Z kursów przed nieznanymi zapisz główne determinanty:a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
9
Oblicz jego:? = a11•a22•a33 + a31•a12•a23 + a13•a21•a32 a13•a22•a31 – a11•a32•a23 – a33•a12•a21.
10
Zastępując pierwszą kolumnę wolne członkami, zrób pierwszy artykuł dostawca:b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33
11
Podobną procedurę przesuń palcem z drugim i trzecim kolumnami:a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3
12
Oblicz dodatkowe uwarunkowania:?(1) = b1•a22•a33 + b3•a12•a23 + a13•b2•a32 a13•a22•b3 – b1•a32•a23 – a33•a12•b2.?(2) = a11•b2•a33 + a31•b1•a23 + a13•a21•b3 – a13•b2•a31 – a11•b3•a23 – a33•b1•a21.?(3) = a11•a22•b3 + a31•a12•b2 + b1•a21•a32 – b1•a22•a31 – a11•a32•b2 – b3•a12•a21.
13
Znajdź nieznane, zapisz odpowiedź:x1 = ?(1)/?, x2 = ?(2)/?, x3 = ?(3)/?.
Porada
Wzór do obliczania determinanty drugiego i trzeciego rzędu łatwo zapamiętać. Determinanty wyższych rzędów można liczyć metodą Gaussa.