Jak zdefiniować punkty nieciągłości funkcji
Aby zdefiniować punkt podziału funkcji, należy zbadać jej ciągłość. Pojęcie to, z kolei, wiąże się ze znalezieniem lewej i prawej limitów w tym punkcie.
Instrukcja
1
Punkt podziału na wykresie funkcji występuje wtedy, gdy w niej jest uszkodzony ciągłość funkcji. Aby funkcja była ciągła, konieczne i wystarczające, aby go po lewej i prawej burty granice w tym miejscu były równe między sobą i zgodne z wartością samej funkcji.
2
Istnieją dwa rodzaje punktów nieciągłości pierwszego i drugiego rodzaju. Z kolei punkty nieciągłości pierwszego rodzaju są rozporządzalnych i nienaruszone. Rozporządzalny luka pojawia się, gdy jednostronne granice są równe między sobą, ale nie pokrywają się z wartością funkcji w tym punkcie.
3
I przeciwnie, on jest, niepodlegające zwrotowi, gdy granice nie są równe między sobą. W tym przypadku punkt nieciągłości pierwszego rodzaju nazywa się skokiem. Zerwanie drugiego rodzaju charakteryzuje się nieskończoną lub nie istniejących wartości co najmniej jednej z granic jednostronnych.
4
Aby zbadać funkcję do punktu zerwania, i określić ich rodzaj, podziel zadanie na kilka etapów: znajdź obszar wykrywania funkcji, określ granice funkcji lewej i prawej strony, porównanie ich wartości z wartością funkcji, określ typ i rodzaj przerwania.
5
Przykład.
Znajdź punkty nieciągłości funkcji f(x) = (x? – 25)/(x – 5) i określ ich typ.
Znajdź punkty nieciągłości funkcji f(x) = (x? – 25)/(x – 5) i określ ich typ.
6
Rozwiązanie.
1. Znajdź obszar wykrywania funkcji. Jest oczywiste, że wiele jej wartości w nieskończoność za wyjątkiem punktu x_0 = 5, czyli x ? (-?; 5) ? (5; +?). Zatem punktem podziału przypuszczalnie może być tylko ona;
2. Oblicz granice jednostronne. Pierwotną funkcję można uprościć do postaci f(x) > g(x) = (x + 5). Nietrudno zobaczyć, że ta funkcja ciągłe przy każdej wartości x, więc jej jednostronne granice są równe między sobą: lim (x + 5) = 5 + 5 = 10.
1. Znajdź obszar wykrywania funkcji. Jest oczywiste, że wiele jej wartości w nieskończoność za wyjątkiem punktu x_0 = 5, czyli x ? (-?; 5) ? (5; +?). Zatem punktem podziału przypuszczalnie może być tylko ona;
2. Oblicz granice jednostronne. Pierwotną funkcję można uprościć do postaci f(x) > g(x) = (x + 5). Nietrudno zobaczyć, że ta funkcja ciągłe przy każdej wartości x, więc jej jednostronne granice są równe między sobą: lim (x + 5) = 5 + 5 = 10.
7
3. Określ, czy są one zgodne wartości jednostronnych granic i funkcji w punkcie x_0 = 5:
f(x) = (x? – 25)/(x – 5). Funkcja nie może być określona w tym punkcie, bo wtedy mianownik zwróci się w zero. W konsekwencji w punkcie x_0 = 5 funkcja ma rozporządzalny zerwanie pierwszego rodzaju.
f(x) = (x? – 25)/(x – 5). Funkcja nie może być określona w tym punkcie, bo wtedy mianownik zwróci się w zero. W konsekwencji w punkcie x_0 = 5 funkcja ma rozporządzalny zerwanie pierwszego rodzaju.
8
Zerwanie drugiego rodzaju nazywa się nieskończona. Na przykład, znajdź punkty nieciągłości funkcji f(x) = 1/x i określ ich typ.
Rozwiązanie.
1. Obszar wykrywania funkcji: x ? (-?; 0) ? (0; +?);
2. Jest oczywiste, że po lewej granica funkcji dąży do -?, a do prawej burty – do +?. W związku z tym punkt x_0 = 0 jest punktem nieciągłości drugiego rodzaju.
Rozwiązanie.
1. Obszar wykrywania funkcji: x ? (-?; 0) ? (0; +?);
2. Jest oczywiste, że po lewej granica funkcji dąży do -?, a do prawej burty – do +?. W związku z tym punkt x_0 = 0 jest punktem nieciągłości drugiego rodzaju.