Jak obliczyć całki funkcji
Zintegrowany rachunek jest częścią analizy matematycznej, podstawowe pojęcia którego całka funkcji i całki, jego właściwości i metody obliczania. Geometryczny sens tych obliczeń – znalezienie powierzchni zakrzywionej trapezu, ograniczona granicami całkowania.
Instrukcja
1
Zazwyczaj obliczenie całki sprowadza się do tego, aby prowadzić подынтегральное wyrażenie na stole myśli. Istnieje wiele tabelarycznych całki, która ułatwia rozwiązanie tych zadań.
2
Istnieje kilka sposobów, aby to całka dogodnej rodzaju: bezpośrednie całkowania, całkowanie przez części, metoda podstawiania, wprowadzenie pod znak mechanizmu różnicowego, rozwijanie Вейерштрасса itp.
3
Metoda bezpośredniego całkowania to konsekwentne doprowadzenie całki na stole myśli za pomocą elementarnych przekształceń:?соѕ? (x/2)dх = 1/2•?(1 + соѕ x)dх = 1/2•?dх + 1/2•?соѕ xdх = 1/2•(x + sin x) + C, gdzie C – stała.
4
Całka ma wiele możliwych wartości na podstawie właściwości całki, a mianowicie obecności суммируемой stałe. W ten sposób, znajdująca się w przykładzie rozwiązanie jest powszechne. Prywatne rozwiązaniem całki nazywa całkowita przy pewnej wartości stałej, np. Z=0.
5
Całkowanie przez części stosuje się, gdy подынтегральное wyrażenie stanowi utwór algebraiczne i transcendentnego funkcji. Formuła metody:?udv = u•v ?vdu.
6
Ponieważ pozycje mnożników do dzieła nie ma znaczenia, jako funkcji u, lepiej wybrać tę część wypowiedzi, która po różnicowanie uproszczone. Przykład:?x·ln xdx = [u=ln x; v=x; dv=xdx] = x?/2·ln x – ?x?/2·dx/x = x?/2·ln x – x?/4 + C.
7
Wprowadzenie nowej zmiennej – to odbiór metody podstawiania. Przy tym zmienia się i sama подынтегральная funkcji i jej argument:?x·v(x – 2)dx = [t=x-2 > x = t?+2 > dx=2·tdt] = ?(t? + 2)·t·2·tdt = ?(2·t^4 + 4·t?)dt = 2·t^5/5 + 4·t?/3 + C = [x=t?+2] = 2/5·(x – 2)^(5/2) + 4/3·(x – 2)^(3/2) + C.
8
Metoda iniekcji pod znak mechanizmu różnicowego zakłada przejście do nowej funkcji. Niech ?f(x) = F(x) + C i u = g(x), wtedy ?f(u)du = F(u) + C, [g'(x) = dg(x)]. Przykład:?(2·x + 3)?dx = [dx = 1/2·d(2·x + 3)] = 1/2·?(2·x + 3)?d(2·x + 3) = 1/6·(2·x + 3)? + C.