Jak brać całka
Pojęcie „robienia całki” ściśle wiąże się z znalezieniem całki z funkcji. Funkcja F(x) nazywa całki z f(x), gdy jej pochodna F'(x) równa się f(x). Tak jak pochodną dowolnej stałej jest równa zero, to i первообразных u f(x) jest nieskończenie wiele. Wszystkie one są zgodne między sobą, z dokładnością do stałej. Tradycyjne oznaczenie nieokreślony całki przedstawione na rys. 1.
Trzeba
- Tabela najprostszych całek.
Instrukcja
1
W matematyce istnieje sporo sposobów, aby „wziąć” całka. W tym artykule krótko omówione te z nich, które nazywane są najprostszymi metodami całkowania. Techniki te wykorzystują właściwości niepewnych całki i tożsame konwersji подынтегральной funkcji.
2
1. Bezpośrednie integracja.Bezpośrednia integracja polega na obliczeniu całki za pomocą ich określonych właściwości i specjalnych tabel. Przykład 1. Obliczyć całki ?(4/(cosx^2)- 3cosx +2/(x-1))dxРешение. ?(4/(cosx^2)- 3cosx +2/(x-1))dx= 4?dx/(cosx^2)- 3?cosxdx +2?dx/(x-1)=4tgx-3sinx+2ln|x-1| + C.
3
Teraz można wziąć pod uwagę regułę, która pozwala rozszerzyć możliwości korzystania z tabeli podstawowych całek. Jeśli ?f(x)dx=F(x)+C, a następnie ?f(kx+b)dx=(1/k)F(kx+b)+СПример 2. ?sin(5x)dx=-(1/5)cos(5x)+ C.
4
2. Rozkład подынтегральной funkcji. Ta technika polega na zamianie подынтегральной funkcji, za pomocą formuły algebry i trygonometrii. Подынтегральная funkcja jest w postaci sumy funkcji, całki, od których można łatwo wziąć.Przykład 3. ?(1+(cosx)^2/(1+cos(2x))dx=[1+cos(2x)=2(cosx)^2 ]=?(1+(cosx)^2/2(cosx)^2)dx==(1/2)?1/(cosx)^2)dx+(1/2)?dx=(1/2)(tgx+x)+C. Przykład 4. ?dx/((sinx)^2)(cosx)^2))= ?((sinx)^2+(cosx)^2)/((sinx)^2)(cosx)^2))dx=?(1/(cosx)^2+1/(sinx)^2)dx=tgx-ctgx+C.
5
3. Podsumowanie pod znak mechanizmu różnicowego. Technika ta opiera się na właściwości инвариантности wzorów całkowania. Подынтегральная funkcja jest konwertowany do postaci f(u(x))u'(x), a następnie cofactor u'(x) jest pod znak mechanizmu różnicowego (zintegrowany) – u'(x)dx=d(u(x)), po czym stosuje się przepis ?(f(u(x))du(x))=u(x)+C.
6
Przykład 5. ?(arctgx/(1+x^2))dx=|dx/(1+x^2)=d(arctgx)|=?(arctgxd(arctgx))=(1/2)(arctgx)^2+C. Przykład 6. ?xsqrt(1-x^2)dx=|d(1-x^2)=-2xdx|=-(1/2) ?((1-x^2)^(1/2+1))/(1/2+1) + C =-(1/3)sqrt((1-x^2)^3) + C. Przykład 7. ?((cosx)^3)sin(2x)dx=2?(cosx)^3)cosxsinxdx=-2?((cosx)^4)d(cosx)=-(2/5)(cosx)^5+C.