Jak znaleźć najmniejszą wartość funkcji
Badanie funkcji pomaga nie tylko w rysowaniu wykresu funkcji, ale czasami pozwala wyodrębnić przydatne informacje na temat funkcji, bez uciekania się do jej kształtu. Tak nie musi budować harmonogram, aby znaleźć najmniejszą wartość funkcji na tym lub innym odcinku.
Instrukcja
1
Niech określono równanie funkcji y = f(x). Funkcja ciągłe i określona na odcinku [a; b]. Musimy znaleźć najmniejszą wartość funkcji na tym odcinku. Rozważmy, na przykład, funkcję f(x) = 3x? + 4x? + 1 na przedziale [-2; 1]. Nasz f(x) jest ciągłe i jest określona na całej osi liczbowej, a to oznacza, że na danym odcinku.
2
Znajdź pierwszą pochodną funkcji zmiennej x: f'(x). W naszym przypadku otrzymamy: f'(x) = 3*2x + 4*3x? = 6x + 12x?.
3
Określ punkt, w którym f'(x) jest równa zeru lub nie może być ustalona. W naszym przykładzie f'(x) istnieje dla wszystkich x, приравняем ją do zera: 6x + 12x? = 0 lub 6x(1 + 2x) = 0. Oczywiście, że iloczyn wynosi zero, jeśli x = 0 lub 1 + 2x = 0. Zatem f'(x) = 0 gdy x = 0, x = -0,5.
4
Określ wśród znalezionych punktów te, które należą do danego przedziału [a; b]. W naszym przykładzie oba punkty należą do przedziału [-2; 1].
5
Pozostało obliczyć wartości funkcji w punktach zerowania się pochodnej, a także na końcach odcinka. Najmniejszą z nich będzie najmniejszą wartością funkcji na odcinku.
Obliczymy wartości funkcji przy x = -2, -0,5, 0 i 1.
f(-2) = 3*(-2)? + 4*(-2)? + 1 = 12 – 32 + 1 = -19
f(-0,5) = 3*(-0,5)? + 4*(-0,5)? + 1 = 3/4 – 1/2 + 1 = 1,25
f(0) = 3*0? + 4*0? + 1 = 1
f(1) = 3*1? + 4*1? + 1 = 3 + 4 + 1 = 8
W ten sposób, najmniejszą wartością funkcji f(x) = 3x? + 4x? + 1 na przedziale [– 2; 1] jest f(x) = -19, to uzyskuje się na lewym końcu odcinka.