Jak ustalić krytyczne punkty
Krytyczne punkty są jednym z najważniejszych aspektów badania funkcji za pomocą pochodnej i mają szeroki zakres zastosowań. Są one używane w różnicowym podwójnym i вариационном исчислениях, odgrywają dużą rolę w fizyce i mechanice.
Instrukcja
1
Pojęcie punktu krytycznego funkcji jest ściśle związane z pojęciem jej pochodnej w tym punkcie. A mianowicie, punkt nazywa się krytyczna, gdy pochodna funkcji w nim nie istnieje, lub jest równa zeru. Krytyczne punkty są wewnętrznymi punktami zakresie określenia funkcji.
2
Aby określić krytyczne punkty z tej funkcji, należy wykonać kilka czynności: znajdź obszar wykrywania funkcji, obliczyć jej pochodną, znaleźć obszar definicji pochodnej funkcji, znaleźć punkt obsługi pochodnej do zera, udowodnić przynależność znalezionych punktów zakresie określenia pierwotnej funkcji.
3
Przykład 1Определите punkty krytyczne funkcji y = (x – 3)?·(x-2).
4
РешениеНайдите obszar wykrywania funkcji, w tym przypadku nie ma ograniczeń: x ? (-?; +?);Oblicz pochodną y’. Według zasad różnicowania iloczyn dwóch funkcji jest: y’ = ((x – 3)?)’·(x – 2) + (x – 3)?·(x – 2)’ = 2·(x – 3)·(x – 2) + (x – 3)?·1. Po ujawnieniu nawiasów uzyskuje się równanie: y’ = 3·x? – 16·x + 21.
5
Znajdź obszar definicji pochodnej funkcji: x ? (-?; +?).Rozwiąż równanie 3·x? – 16·x + 21 = 0 aby znaleźć, w jakich x pochodna zwraca się do zera: 3·x? – 16·x + 21 = 0.
6
D = 256 – 252 = 4×1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 – 2)/6 = 7/3.Więc pochodna zwraca się do zera przy wartościach x, równych 3 i 7/3.
7
Określ, należą czy znalezione punkty zakresie określenia pierwotnej funkcji. Ponieważ x (-?; +?), oba te punkty są krytyczne.
8
Przykład 2Определите punkty krytyczne funkcji y = x? – 2/x.
9
РешениеОбласть definicje funkcji: x ? (-?; 0) ? (0; +?), ponieważ x jest w mianowniku.Oblicz pochodną y’ = 2·x + 2/x?.
10
Obszar definicji pochodnej funkcji jest taka sama, że masz oryginalnego: x ? (-?; 0) ? (0; +?).Rozwiąż równanie 2·x + 2/x? = 0:2·x = -2/x? > x = -1.
11
Więc pochodna zwraca się do zera przy x = -1. Wykonana jest niezbędny, ale niewystarczający warunek ważności. Ponieważ x=-1 wpada w przedział (-?; 0) ? (0; +?), ten punkt są krytycznej.