Jak ułożyć równanie płaszczyzny przez punkt a prostą

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty o współrzędnych (x1,y1,z1) i (x2,y2,z2), ma postać: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1). Odpowiednio, z równania (x-x0)/A=(y-y0)/B=(z-z0)/C łatwo można wyróżnić współrzędne dwóch punktów.

Z trzech punktów na płaszczyźnie można ułożyć równanie, jednoznacznie określająca płaszczyznę. Niech istnieją trzy punkty o współrzędnych (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3). Zapisz determinanty:(x-x1) (y-y1) (z-z1)(x2-x1) (y2-y1) (z2-z1)(x3-x1) (y3-y1) (z3-z1)Приравняйте determinant zero. To będzie równanie płaszczyzny. Można go zostawić w takim stanie, a można malować, odkrywając детерминант:(x-x1)(y2-y1)(z3-z1)+(x3-x1)(y-y1)(z2-z1)+(z-z1)(x2-x1)(y3-y1)-(z-z1)(y2-y1)(x3-x1)-(z3-z1)(y-y1)(x2-x1)-(x-x1)(z2-z1)(y3-y1). Praca żmudna i, jak zwykle przesada, bo łatwiej zapamiętać o właściwościach dostawca równy zero.

Przykład. Ułóż równanie płaszczyzny, jeśli wiadomo, że przechodzi przez punkt M(2,3,4) i bezpośrednie (x-1)/3=y/5=(z-2)/4.Rozwiązanie. Najpierw należy przekształcić równanie prostej.(x-1)/(4-1)=(y-0)/(5-0)=(z-2)/(6-2). Stąd łatwo wyróżnić dwa punkty, wyraźnie należące do danej prostej. To (1,0,2) i (4,5,6). Wszystkie trzy punkty są, można wynosić równanie płaszczyzny.(x-1) (y-0) (z-2)(4-1) (5-0) (6-2)(2-1) (3-0) (4-2)Determinanty pozostało równe zeru i uprościć.

Ogółem:(x-1) y (z-2)3 5 41 3 2 =(x-1)·5·2+1·y·4+(z-2)·3·3-(z-2)·5·1-(x-1)·4·3-2·y·3=10x-10+4y+9z-18-5z+10-12x+12-6y=-2x-2y+4z-6=0.Ответ. Szukane równanie płaszczyzny 2x-2y+4z-6=0.