Jak rozwiązać metoda simplex

Simplex-metoda – jeden z podstawowych sposobów rozwiązania zadań programowania liniowego. Składa się on w konsekwentnym budowaniu modelu matematycznego, charakterystyczną dany proces. Rozwiązanie jest podzielony na trzy główne etapy: wybór zmiennych, tworzenie systemu ograniczeń i wyszukaj docelowej funkcji.

Na podstawie tego podziału, warunek zadania można przeformułować w następujący sposób: znaleźć maksimum funkcji celu Z(X) = f(x1, x2, … ,xn) > max (min) i odpowiednie zmienne, jeśli wiadomo, że spełniają one systemie ograniczeń: ?_i (x1, x2, … ,xn) = 0, gdy i = 1, 2, …, k;?_i (x1, x2, … ,xn) ) 0, gdy i = k+1, k+2, …, m.

System ograniczeń trzeba doprowadzić do kanoniczną myśli, tj. do układu równań liniowych, gdzie liczba zmiennych jest większa od liczby równań (m > k). W tym systemie muszą być zmienne, które można wyrazić przez inne zmienne, a jeśli nie, to można je wprowadzić sztucznie. W tym przypadku pierwsze nazywane linią końcową lub sztuczną linią końcową, a drugi – wolne.

Wygodniej wziąć pod uwagę simplex-metoda na konkretnym przykładzie. Niech dana jest funkcja liniowa f(x) = 6×1 + 5×2 + 9×3 i system ograniczeń:5×1 + 2×2 + 3×3 ? 25;x1 + 6×2 + 2×3 ? 20;4×1 + 3×3 ? 18.Chcesz znaleźć maksymalną wartość funkcji f(x).

РешениеНа pierwszym etapie należy określić wartość początkową (odniesienia) rozwiązanie układu równań całkowicie losowo, które musi spełniać dany system ograniczeń. W tym przypadku wymagane jest wprowadzenie sztucznej linii końcowej, tj. podstawowych zmiennych x4, x5 i x6 w następujący sposób:5×1 + 2×2 + 3×3 + x4 = 25;x1 + 6×2 + 2×3 + x5 = 20;4×1 + 3×3 + x6 = 18.

Jak widać, nierówności przekształciliśmy się w równości dzięki dodanym zmienne x4, x5, x6, które są неотрицательными wartościami. W ten sposób można doprowadziły system do kanoniczną myśli. Zmienna x4 wchodzi w pierwsze równanie przez współczynnik 1, a w dwóch innych – o współczynniku 0, to samo odnosi się do zmiennych x5, x6 i odpowiednich równań, co odpowiada definicji linii końcowej.

Przygotowaliśmy system i zakładają początkowa odniesienia rozwiązanie – X0 = (0, 0, 0, 25, 20, 18). Teraz wyobraź sobie współczynniki zmiennych i temat członkowie równań (cyfry po prawej stronie znaku „=”) w postaci tabeli w celu optymalizacji dalszych obliczeń (patrz rysunek).

Istotą simplex-metody polega na tym, aby doprowadzić tę tabelę do tego rodzaju, w którym wszystkie liczby w wierszu L będą неотрицательными wartościami. Jeśli okaże się, że to niemożliwe, to system w ogóle nie ma optymalnego rozwiązania. Aby rozpocząć, wybierz najbardziej podstawowy element tego ciągu, to -9. Figura stoi w trzeciej kolumnie. Przekonwertuj odpowiednią zmienną x3 w podstawowych. Do tego podzielić wiersz na 3, aby w komórce [3,3] była 1.

Teraz trzeba, aby komórki [1,3] i [2,3] zwrócili się do 0. Do tego należy odjąć od elementów pierwszego wiersza odpowiednie cyfry trzeciej linii pomnożona przez 3. Od elementów drugiego wiersza – elementy trzeciej, pomnożona przez 2. I, w końcu, od elementów linii L – pomnożone przez (-9). Masz drugie odniesienia rozwiązanie: f(x) = L = 54 przy x1 = (0, 0, 6, 7, 8, 0).

W wierszu L pozostało tylko jedna liczba ujemna -5 w drugiej kolumnie. Dlatego będziemy konwertować do базисному rodzaju zmiennej x2. Do tego elementy kolumny muszą brać widok (0, 1, 0). Podziel wszystkie elementy drugiego wiersza na 6.

Teraz od elementów pierwszego wiersza odjąć odpowiednie cyfry drugiego wiersza, pomnożona przez 2. Następnie odejmij od elementów wiersza L te same cyfry, ale z kursem (-5).

Masz trzecia i ostateczna odniesienia rozwiązanie, ponieważ wszystkie elementy wiersza L nierdzewnej неотрицательными. Tak więc, X2 = (0, 4/3, 6, 13/3, 0, 0) i L = 182/3 = -83/18×1 – 5/6×5 -22/9×6. Maksymalna wartość funkcji f(x) = L(X2) = 182/3. Ponieważ wszystkie x_i w rozwiązywaniu X2 неотрицательны, jak i sama wartość L, to optymalne rozwiązanie znaleziono.