Jak rozwiązywać szeregi liczbowe
Z nazwy liczb szeregu oczywiście, że jest to ciąg liczb. Stosuje się ten termin w matematyce, a także kompleksowej analizy jak system przybliżeń do liczb. Pojęcie szeregu liczbowego nierozerwalnie wiąże się z pojęciem granicy, a główną cechą jest zbieżność.
Instrukcja
1
Niech istnieje sekwencja sekwencja rodzaju a_1, a_2, a_3, …, a_n i pewna sekwencja s_1, s_2, …, s_k, gdzie n i k dążą do ?, a elementy sekwencji s_j stanowią kwoty niektórych członków sekwencji a_i. Wtedy ciąg a jest liczbą, a s – ciąg jego sum częściowych:
s_j = ?a_i, gdzie 1 ? i ? j.
s_j = ?a_i, gdzie 1 ? i ? j.
2
Zadania na rozwiązanie numeryczne rzędów sprowadzają się do określenia jego zbieżności. Mówią, że szereg jest zbieżny, jeśli jest zbieżny ciąg jego sum częściowych i absolutnie zbieżny, jeśli kolejność modułów jego sum częściowych jest zbieżny. I odwrotnie, jeśli rozchodzi się ciąg sum częściowych szeregu, to mija sie.
3
Aby udowodnić zbieżność sekwencji częściowych kwot, należy przejść do pojęcia jej limitu, który nazywamy sumą szeregu:
S = lim_n>? ?_(i=1)^n a_i.
S = lim_n>? ?_(i=1)^n a_i.
4
Jeśli ta granica istnieje i jest конечен, to szereg jest zbieżny. Jeśli on nie istnieje, lub jest nieskończony, to szereg sprzeczności. Jest jeszcze jeden konieczny, ale nie wystarczający znak zbieżności szeregu. To wspólna członek wielu a_n. Jeśli on dąży do zera: lim a_i = 0, gdy I>,?, to szereg jest zbieżny. Jest to warunek rozważają w połączeniu z analizą innych objawów, ponieważ jest ono niewystarczające, jeśli jednak ogólny członek nie dąży do zera, to szereg jest jednoznacznie sprzeczne.
5
Пример1.
Określić zbieżność szeregu 1/3 + 2/5 + 3/7 + … + n/(2*n+1) + ….
Rozwiązanie.
Zastosuj odpowiedni znak konwergencji – stara czy wspólna członek do zera:
lim a_i = lim n/(2*n+1) = ?.
Tak więc, a_i ? 0, zatem szereg sprzeczności.
Określić zbieżność szeregu 1/3 + 2/5 + 3/7 + … + n/(2*n+1) + ….
Rozwiązanie.
Zastosuj odpowiedni znak konwergencji – stara czy wspólna członek do zera:
lim a_i = lim n/(2*n+1) = ?.
Tak więc, a_i ? 0, zatem szereg sprzeczności.
6
Пример2.
Określić zbieżność szeregu 1 + ? + 1/3 + … + 1/n + ….
Rozwiązanie.
Stara czy wspólna członek do zera:
lim 1/n = 0. Tak, stara, wykonana żądany znak konwergencji, jednak to nie wystarczy. Teraz z pomocą limitu kolejności kwot spróbujemy udowodnić, że szereg sprzeczności:
s_n = ?_(k=1)^n 1/k = 1 + ? + 1/3 + … + 1/n. Ciąg sum, choć bardzo powoli, ale wyraźnie dąży do ?, w konsekwencji, wiele sprzeczności.
Określić zbieżność szeregu 1 + ? + 1/3 + … + 1/n + ….
Rozwiązanie.
Stara czy wspólna członek do zera:
lim 1/n = 0. Tak, stara, wykonana żądany znak konwergencji, jednak to nie wystarczy. Teraz z pomocą limitu kolejności kwot spróbujemy udowodnić, że szereg sprzeczności:
s_n = ?_(k=1)^n 1/k = 1 + ? + 1/3 + … + 1/n. Ciąg sum, choć bardzo powoli, ale wyraźnie dąży do ?, w konsekwencji, wiele sprzeczności.
7
Objaw zbieżności Даламбера.
Niech istnieje ostateczny limit relacje kolejnego i poprzedniego członków szeregu lim (a_(n+1)/a_n) = D. Wtedy:
D 1 – szereg sprzeczności;
D = 1 – rozwiązanie jest niepewna, trzeba skorzystać z dodatkowym symptomem.
Niech istnieje ostateczny limit relacje kolejnego i poprzedniego członków szeregu lim (a_(n+1)/a_n) = D. Wtedy:
D 1 – szereg sprzeczności;
D = 1 – rozwiązanie jest niepewna, trzeba skorzystać z dodatkowym symptomem.
8
Radykalny znak zbieżności Cauchy ’ ego.
Niech istnieje ostateczny limit rodzaju lim v(n&a_n) = D. Wtedy:
D 1 – szereg sprzeczności;
D = 1 – nie ma jednoznacznej odpowiedzi.
Niech istnieje ostateczny limit rodzaju lim v(n&a_n) = D. Wtedy:
D 1 – szereg sprzeczności;
D = 1 – nie ma jednoznacznej odpowiedzi.
9
Te dwie cechy można wykorzystać w całości, jednak objaw Cauchy ’ ego silniejszy. Istnieje również całkowania znak Cauchy ’ ego, zgodnie z którym w celu określenia zbieżności szeregu, należy znaleźć odpowiednią całkę. Jeśli jest zbieżny, to jest zbieżny, a szereg, i odwrotnie.