Jak znaleźć pochodną wektora
Przy opisie wektorów współrzędnych w formie używane pojęcie promienia-wektora. Gdzie początkowo ani leżał wektor, nadal jego początek będzie pokrywać się z początkiem układu współrzędnych, a koniec będzie oznaczony jego współrzędnych.
Instrukcja
1
Promień-wektor podjęta zapisywać w następujący sposób: r=r(M)=x•i+y•j+z•k. Tutaj (x, y, z) – kartezjańskie współrzędne wektora. Nie trudno sobie wyobrazić sytuację, gdy wektor może ulec zmianie w zależności od jakiegokolwiek skalarne parametru, na przykład czasu t. W tym przypadku wektor można opisywać jako funkcję trzech argumentów, zadaną równania parametryczne x=x(t), y=y(t), z=z(t), co odpowiada r=r(t)=x(t)•i+y(t)•j+z(t)•k. Przy tym linia, którą w miarę zmiany parametru t opisuje w przestrzeni koniec promień-wektor nazywa годографом wektora, a sam stosunek r=r(t) nazywa się wektor-funkcji (wektor funkcji argumenty skalarne).
2
Tak więc, wektor-funkcja – jest to wektor, w zależności od parametru. Pochodną wektor funkcji (jak i każdej funkcji, prezentowanej w postaci kwoty) można zapisać w następującej postaci: r’=dr/dt=r'(t)= x'(t)•i+y'(t)•j+z'(t)•k. (1)Pochodna każdej z wchodzących w (1) funkcji zależy tradycyjnie. Podobnie ma się sprawa i z r=r(t), gdzie przyrost ?r: wektor (patrz rys. 1).
3
W życie (1) można dojść do wniosku, że zasady różnicowania wektor funkcji powtarzają zasady różnicowania zwykłych funkcji. Więc pochodna sumy (różnicy) – jest suma (różnica) pochodnych. Przy obliczaniu pochodnej wektora przez liczbę, liczba ta może wynosić za znak pochodnej. Dla skalarne i wektor dzieła jest zachowana zasada obliczania pochodnej iloczynu funkcji. Dla wektor dzieła [r(t),g(t)]’= [r'(t),g(t)]+[r(t)g'(t)]. Pozostaje jeszcze jedno pojęcie – dzieła wartość skalarna funkcji wektorowej (tutaj zasada różnicowania dzieła funkcji jest zachowana).
4
Szczególnie interesujące jest wektor-funkcja długości łuku s, po której porusza się koniec wektora, отсчитываемой od pewnego punktu początkowego Mo. To r=r(s)=u(s)•i+v(s)•j+w(s)•k (patrz rys. 2).Za pomocą rysunku. 2 spróbuj dowiedzieć się geometryczny sens pochodnej dr/ds.
5
Odcinek AB, na którym leży ?r, jest хордой łuku. Przy tym jej długość jest równa ?s. Jest oczywiste, że stosunek długości łuku do długości akord dąży do jedności, gdy ?r, nastawiona na zero. ?r=r•(s + ?s) r(s), |?r |=|AB|. Dlatego |?r/?s| w zakresie (przy ?s nastawiona na zero) jest równa jedności. Powstający przy tym pochodna skierowany wzdłuż stycznej do krzywej dr/ds=&sigma – wektor jednostkowy. W związku z tym można nagrać i drugą pochodną (d^2)r/(ds)^2=(d/ds)[dr/ds]=d&sigma/ds.